Номер 250 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Равные углы рёбер с высотой дают равные боковые рёбра, значит, высота падает в центр описанной окружности (задача 249). Радиус описанной окружности находим из прямоугольного треугольника, а стороны основания — по теореме синусов.

1. 1В прямоугольных треугольниках $POA$, $POB$, $POC$ катет $PO$ общий и острые углы при $P$ равны, значит, треугольники равны, и $PA=PB=PC$. Дальше — задача 249.
2. 2В $△POA$ катет $OA$ лежит против угла $45^{\circ }$ при вершине $P$: $OA=PO\mathrm{tg}45^{\circ }$. Это и есть радиус описанной около основания окружности.
3. 3Угол $120^{\circ }$ не может быть при основании равнобедренного треугольника (сумма двух таких углов уже 240°), значит, это угол при вершине $A$, а углы при $B$ и $C$ по $30^{\circ }$. Боковая сторона по теореме синусов: $AB=2R\sin C$.
4. 4Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

Частая ошибка. Треугольник тупоугольный, поэтому центр описанной окружности $O$ лежит вне основания, по другую сторону от $BC$ — на чертеже так и нарисовано.