Номер 256 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P A BC D

— правильная пирамида;

A B = m

;

∠ A PB = α

;

PO ⊥ (A BC)

Найти:

а)

PO

; б)

P A

; в)

∠ ((P A B), (A BC))

; г) двугранный угол при

P A

Правильная четырёхугольная пирамида PABCD: высота PO, апофема PM, угол PMO

M

— середина

A B

;

∠ A PM = \frac{α}{2}

A M = \frac{m}{2}

;

O A = \frac{m 2}{2}

OM = \frac{m}{2}

б)

P A = \frac{A M}{sin \frac{α}{2}} = \frac{m}{2 sin \frac{α}{2}}

а)

PO = P A^{2} - O A^{2} = \frac{m ^{2}}{4 sin ^{2} \frac{α}{2}} - \frac{m ^{2}}{2} = \frac{m cos α}{2 sin \frac{α}{2}}

в)

PM ⊥ A B

OM ⊥ A B

⇒

∠ PMO

— линейный угол;

PM = \frac{A M}{tg \frac{α}{2}}

cos ∠ PMO = \frac{OM}{PM} = \frac{m}{2} \cdot \frac{2 tg \frac{α}{2}}{m} = tg \frac{α}{2}

г)

Правильная четырёхугольная пирамида PABCD: BK и DK перпендикулярны ребру PA

B K ⊥ P A

;

△ P A B = △ P A D

⇒

DK ⊥ P A

DK = B K

⇒

∠ B KD = ψ

— линейный.5

O

— середина

B D

⇒

K O

— биссектриса:

∠ B K O = \frac{ψ}{2}

;

∠ P A B = 9 0^{\circ} - \frac{α}{2}

B K = A B \cdot sin ∠ P A B = m cos \frac{α}{2}, BO = \frac{m 2}{2}

sin \frac{ψ}{2} = \frac{BO}{B K} = \frac{2}{2 cos \frac{α}{2}} \Rightarrow ψ = 2 arcsin \frac{2}{2 cos \frac{α}{2}}

Ответ: а)

\frac{m cos α}{2 sin \frac{α}{2}}

; б)

\frac{m}{2 sin \frac{α}{2}}

; в)

arccos (tg \frac{α}{2})

; г)

2 arcsin \frac{2}{2 cos \frac{α}{2}}

Пояснение

Идея. Грань $P A B$ — равнобедренный треугольник с известным углом $α$ при вершине, из него получаем и ребро, и апофему. Дальше высоту, угол грани с основанием и двугранный угол при ребре находим из прямоугольных и равнобедренных треугольников.

1Основание — квадрат, его центр $O$ — точка пересечения диагоналей: $O A = \frac{m 2}{2}$ , расстояние до стороны $OM = \frac{m}{2}$ . В равнобедренном $△ P A B$ высота $PM$ — ещё и биссектриса и медиана.
2В прямоугольном $△ PM A$ катет $A M$ лежит против угла $\frac{α}{2}$ , гипотенуза — ребро $P A$ .
3 $PO ⊥ (A BC)$ , поэтому $△ PO A$ прямоугольный. Под корнем $\frac{m ^{2}}{4} (\frac{1}{sin ^{2} \frac{α}{2}} - 2)$ , а $1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2} = cos α$ .
4 $PM$ — высота грани, $OM$ — расстояние от $O$ до $A B$ , оба перпендикулярны $A B$ (теорема о трёх перпендикулярах). $tg \frac{α}{2} = \frac{A M}{PM}$ — из $△ PM A$ ; косинус угла $PMO$ равен $\frac{OM}{PM}$ из $△ POM$ , и $OM = A M$ .
5Грани $P A B$ и $P A D$ — равные треугольники, поэтому высоты $B K$ и $DK$ из $B$ и $D$ падают в одну точку $K$ ребра $P A$ и равны. Угол между $K B$ и $KD$ — линейный угол двугранного угла при ребре $P A$ .
6Треугольник $B KD$ равнобедренный, $O$ — середина $B D$ (диагонали квадрата делятся пополам), значит, $K O$ — биссектриса и высота. $B K$ — катет в прямоугольном $△ B K A$ против угла $A$ , равного $9 0^{\circ} - \frac{α}{2}$ (сумма углов равнобедренного $△ P A B$ ).

Частая ошибка. В ответе книги к пункту а) потерян знак корня: на странице $\frac{m cos α}{2 sin \frac{α}{2}}$ . При $α = 6 0^{\circ}$ все рёбра равны $m$ , и высота должна быть $\frac{m}{2}$ ; формула с корнем это даёт. Четырёхугольная правильная пирамида существует при $α < 9 0^{\circ}$ .

Номер 256 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели