Номер 257 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P A BC

— правильная пирамида;

PO ⊥ (A BC)

PO = h

; двугранный угол при ребре

A B

равен

4 5^{\circ}

Найти:

S_{полн}

Правильная треугольная пирамида PABC, высота h, двугранный угол при ребре AB равен 45°

M

— середина

A B

;

PM ⊥ A B

OM ⊥ A B

⇒

∠ PMO = 4 5^{\circ}

— линейный угол.1

OM = PO ctg 4 5^{\circ} = h, PM = \frac{PO}{sin 4 5 ^{\circ}} = h 2

OM = r = \frac{a}{2 3} \Rightarrow a = 23 h

S_{A BC} = \frac{a ^{2} 3}{4} = 33 h^{2}

S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 23 h \cdot h 2 = 36 h^{2}

S_{полн} = 33 h^{2} + 36 h^{2} = 33 (1 + 2) h^{2}

Ответ:

33 (1 + 2) h^{2}

Пояснение

Идея. Угол $4 5^{\circ}$ делает прямоугольный треугольник $POM$ равнобедренным: радиус вписанной окружности основания равен высоте. Отсюда сторона основания, а затем площади основания и боковой поверхности.

1 $PM$ — апофема (высота грани $P A B$ ), $OM$ — перпендикуляр из центра на сторону основания. Оба перпендикулярны $A B$ (теорема о трёх перпендикулярах), поэтому $∠ PMO$ — линейный угол двугранного угла при ребре $A B$ .
2В прямоугольном $△ POM$ угол $M$ равен $4 5^{\circ}$ , значит, катеты равны, а гипотенуза в $2$ раз больше.
3 $OM$ — радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной $a$ : $r = \frac{a}{2 3}$ (центр делит медиану $\frac{a 3}{2}$ в отношении $2 : 1$ ).
4Площадь правильного треугольника со стороной $a$ .
5Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — половина произведения периметра основания на апофему (теорема п. 33). Периметр $3 a = 63 h$ .
6Площадь полной поверхности — основание плюс боковая поверхность.

Номер 257 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели