Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 77, §2 Пирамида
№259. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60∘. Найдите боковое ребро пирамиды.
✎ Запись в тетрадь
Дано:PABCD — правильная пирамида; AB=6 см; ∠((PAB),(ABC))=60∘
Найти:PA
M — середина
AB;
PM⊥AB,
OM⊥AB ⇒
∠PMO=60∘.
1 OM=2AB=3,PM=cos60∘OM=62 PM⊥AB ⇒
△PMA — прямоугольный,
AM=3.
3 Пояснение
Идея. Угол наклона боковой грани к основанию — это угол PMO при апофеме. Из него находим апофему, а боковое ребро — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами «апофема» и «полстороны основания».
- 1PM — высота равнобедренной грани PAB, OM — расстояние от центра квадрата до стороны AB. Оба перпендикулярны AB, значит, ∠PMO — линейный угол двугранного угла при ребре AB.
- 2У квадрата со стороной 6 расстояние от центра до стороны равно половине стороны. В прямоугольном △POM катет OM прилежит к углу 60∘.
- 3Апофема PM перпендикулярна AB в точке M — середине стороны; ребро PA — гипотенуза в △PMA.
