Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 77, §2 Пирамида
№260. В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO проведена плоскость α. Докажите, что: а) ребро AB перпендикулярно к плоскости α; б) перпендикуляр, проведённый из вершины C к апофеме грани ADB, является перпендикуляром к плоскости ADB.
✎ Запись в тетрадь
Дано:DABC — правильная пирамида; DO⊥(ABC); α=(DCO); DM — апофема грани ADB; CF⊥DM, F∈DM
Доказать:а) AB⊥α; б) CF⊥(ADB)
O — центр
△ABC ⇒
O∈CM,
M — середина
AB;
α=(DCM).
1 а)
CM⊥AB (медиана равностороннего
△ABC);
DO⊥(ABC) ⇒
DO⊥AB.
2 CM и
DO — пересекающиеся прямые плоскости
α ⇒
AB⊥α.
3 б)
CF⊂α ⇒
AB⊥CF. По условию
CF⊥DM.
4 DM и
AB пересекаются в
M и лежат в
(ADB) ⇒
CF⊥(ADB).
4 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Нужно найти в плоскости α две пересекающиеся прямые, перпендикулярные AB (признак перпендикулярности прямой и плоскости, п. 17). Для б) используем, что CF лежит в α, значит, тоже перпендикулярна AB.
- 1В правильной пирамиде высота падает в центр основания. Центр правильного треугольника лежит на каждой медиане, поэтому O лежит на CM, а плоскость, проходящая через D, C, O, содержит и M.
- 2CM — медиана равностороннего треугольника, а значит, и высота: CM⊥AB. Прямая DO перпендикулярна плоскости основания, поэтому перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе AB.
- 3Прямые CM и DO лежат в α и пересекаются в точке O. Прямая AB перпендикулярна обеим, значит, AB⊥α (п. 17).
- 4Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости: AB⊥CF. Вместе с CF⊥DM получаем две пересекающиеся прямые плоскости ADB, перпендикулярные CF.
