Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 77, §2 Пирамида
№261. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны.
✎ Запись в тетрадь
Дано:DABC — правильная пирамида
Доказать:AB⊥DC, BC⊥DA, CA⊥DB
Скрещивающиеся пары:
AB и
DC;
BC и
DA;
CA и
DB.
1Докажем для
AB и
DC (
M — середина
AB,
O — центр
△ABC).
2CM⊥AB,
DO⊥AB ⇒
AB⊥(DCM) (зад. 260 а).
3 Для остальных пар — то же, вершины называем по кругу.
5Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Достаточно найти плоскость, перпендикулярную AB и содержащую DC — это плоскость из задачи 260.
- 1В тетраэдре DABC шесть рёбер. Три боковых выходят из D, три стороны основания сходятся в вершинах. Скрещиваются только боковое ребро и сторона основания, не имеющая с ним общей вершины.
- 2Выбираем пару AB и DC. Плоскость DCM проходит через боковое ребро DC и высоту DO: центр O лежит на медиане CM.
- 3В задаче 260 доказано, что AB⊥(DCM): CM и DO — две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные AB.
- 4DC лежит в плоскости DCM, значит, AB⊥DC.
- 5Пирамида правильная, любую вершину основания можно взять первой: те же рассуждения для BC и DA, для CA и DB.
