Номер 263 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Две пересекающиеся прямые $KN$ и $KL$ параллельны плоскости $AMB$, значит, их плоскость параллельна ей. Третью сторону сечения строим по свойству параллельных плоскостей: линии пересечения с третьей плоскостью параллельны.

1. 1Прямая, параллельная какой-либо прямой плоскости (и не лежащая в этой плоскости), параллельна самой плоскости. $KN\parallel BA$ и $KL\parallel BM$, обе прямые $BA$ и $BM$ лежат в плоскости $AMB$.
2. 2Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Это и есть пункт б).
3. 3Плоскость $KLN$ пересекает грань $AMD$ по прямой, проходящей через $N$. Плоскость $AMD$ пересекает параллельные плоскости $KLN$ и $AMB$ по параллельным прямым, а плоскость $AMB$ она пересекает по $MA$. Поэтому через $N$ проводим $NP\parallel MA$ до пересечения с $MD$ в точке $P$.
4. 4Из подобия по теореме Фалеса: $KL\parallel BM$ даёт $\frac{CL}{CM}=\frac{CK}{CB}$, откуда $\frac{ML}{MC}=\frac{BK}{BC}$; $NP\parallel MA$ даёт $\frac{DP}{DM}=\frac{DN}{DA}$, откуда $\frac{MP}{MD}=\frac{AN}{AD}$. Отношения равны, поэтому $LP\parallel CD$ (обратная теорема Фалеса для угла $CMD$).
5. 5У четырёхугольника $KLPN$ стороны $KN$ и $LP$ параллельны (обе параллельны $AB$). Две другие, $KL$ и $NP$, параллельны пересекающимся прямым $BM$ и $AM$, поэтому сами не параллельны. Значит, четырёхугольник — трапеция.

Проверка. Пирамида симметрична относительно плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через её середину; $K$ и $N$, $L$ и $P$ переходят друг в друга, поэтому трапеция равнобедренная.