Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 77, §2 Пирамида
№262. Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.
✎ Запись в тетрадь
Дано:PABCD… — правильная пирамида; PO — высота; PM — высота грани PAB
Доказать:(POM)⊥(PAB)
PO — высота пирамиды,
PM — высота грани
PAB,
M∈AB.
1 △PAB равнобедренный ⇒
PM — медиана и
PM⊥AB.
2 OA=OB ⇒
△OAB равнобедренный,
OM — медиана ⇒
OM⊥AB.
3 AB⊂(PAB) ⇒
(PAB)⊥(POM) (признак перпендикулярности плоскостей).
5 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. По признаку перпендикулярности плоскостей достаточно показать, что одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой. Такая прямая — сторона основания AB: она перпендикулярна плоскости POM.
- 1Высота грани, проведённая из вершины, называется апофемой; её основание M лежит на стороне основания AB (в равнобедренном треугольнике высота падает на середину основания).
- 2Грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники (PA=PB), и высота к основанию является медианой.
- 3Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник, O — его центр, поэтому OA=OB (радиусы описанной окружности). Значит, OM — медиана равнобедренного треугольника и высота.
- 4Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым PM и OM плоскости POM — по признаку п. 17 она перпендикулярна этой плоскости.
- 5Плоскость PAB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости POM, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (п. 23).
