Номер 266 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

S A BC D

;

S A = SB = SC = S D

;

A BC D

— прямоугольник,

A B = 8

BC = 6

дм;

SO = 2

дм; плоскость

(A K C) ∥ S D

Найти:

S_{A K C}

Пирамида SABCD с прямоугольным основанием, сечение AKC через диагональ AC параллельно ребру SD

S A = SB = SC = S D

⇒ высота

SO

падает в центр

O

прямоугольника.1

△ SB D

O K ∥ S D

O

— середина

B D

⇒

K

— середина

SB

. Сечение —

△ A K C

A C = 6^{2} + 8^{2} = 10

L

— середина

OB

⇒

K L ∥ SO

K L = \frac{1}{2} SO = 1

K L ⊥ (A BC)

BT ⊥ A C : BT = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8, L H = \frac{1}{2} BT = 2, 4

L H ⊥ A C

⇒

KH ⊥ A C

(теорема о трёх перпендикулярах).5

KH = K L^{2} + L H^{2} = 1 + 5, 76 = 2, 6

S_{A K C} = \frac{1}{2} A C \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 6 = 13

Ответ:

13

дм

^{2}

Пояснение

Идея. Сечение — треугольник $A K C$ с известным основанием $A C$ . Ищем высоту $KH$ : сначала опускаем перпендикуляр $K L$ на основание, потом $L H$ на $A C$ , и применяем теорему о трёх перпендикулярах.

1Точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника, — центр описанной окружности. У прямоугольника это точка пересечения диагоналей, поэтому основание высоты $SO$ — точка $O$ на $A C$ и $B D$ .
2Плоскость сечения содержит $A C$ и $O$ и параллельна $S D$ . Она пересекает плоскость $SB D$ по прямой $O K$ , и эта прямая параллельна $S D$ . $O$ — середина $B D$ , значит, $O K$ — средняя линия треугольника $SB D$ , и $K$ — середина $SB$ .
3 $K$ — середина $SB$ , $L$ — середина $OB$ : $K L$ — средняя линия $△ SOB$ , параллельная $SO$ , поэтому тоже перпендикулярна основанию.
4 $O$ лежит на $A C$ . Расстояние от $B$ до $A C$ — высота прямоугольного $△ A BC$ к гипотенузе (площадь $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8$ равна $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BT$ ). Середина $OB$ вдвое ближе к $A C$ .
5 $K L$ — перпендикуляр к плоскости основания, $L H$ — наклонная проекция, $L H ⊥ A C$ ; значит, наклонная $KH$ тоже перпендикулярна $A C$ и $KH$ — высота треугольника $A K C$ .
6Площадь треугольника — полупроизведение основания на высоту.

Частая ошибка. Диагонали прямоугольника не перпендикулярны, поэтому $A C$ не перпендикулярна плоскости $SB D$ и высота сечения — не $O K$ .

Номер 266 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели