Номер 267 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

S A BC D \dots

— пирамида;

(A_{1} B_{1} C_{1} \dots) ∥ (A BC)

;

SO

— высота,

O_{1} \in SO

Доказать:

\frac{S A _{1}}{S A} = \frac{S B _{1}}{SB} = \dots = \frac{S O _{1}}{SO}

Пирамида SABCD, плоскость A1B1C1D1 параллельна основанию, SO — высота, O1 — точка пересечения SO с плоскостью

(A_{1} B_{1} C_{1}) ∥ (A BC)

;

SO ⊥ (A BC)

O_{1} = SO \cap (A_{1} B_{1} C_{1})

(S A B) \cap (A_{1} B_{1} C_{1}) = A_{1} B_{1}

(S A B) \cap (A BC) = A B

⇒

A_{1} B_{1} ∥ A B

△ S A_{1} B_{1} \sim △ S A B \Rightarrow \frac{S A _{1}}{S A} = \frac{S B _{1}}{SB}

Так же для

SB

SC

SC

S D

, … ⇒

\frac{S A _{1}}{S A} = \frac{S B _{1}}{SB} = \frac{S C _{1}}{SC} = \frac{S D _{1}}{S D}

SO ⊥ (A BC)

(A_{1} B_{1} C_{1}) ∥ (A BC)

⇒

SO ⊥ (A_{1} B_{1} C_{1})

(SO A) \cap (A_{1} B_{1} C_{1}) = O_{1} A_{1}

(SO A) \cap (A BC) = O A

⇒

O_{1} A_{1} ∥ O A

△ S O_{1} A_{1} \sim △ SO A \Rightarrow \frac{S O _{1}}{SO} = \frac{S A _{1}}{S A}

Отношения для рёбер и высоты равны.5

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым. Это даёт параллельные отрезки в боковых гранях, а из подобия треугольников получаются равные отношения.

1Плоскость $S A B$ пересекает две параллельные плоскости — основание и сечение — по прямым $A B$ и $A_{1} B_{1}$ . Они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, значит, параллельны.
2Из $A_{1} B_{1} ∥ A B$ углы при $A$ и $B$ равны углам при $A_{1}$ и $B_{1}$ , а угол при $S$ общий — треугольники подобны. В подобных треугольниках $S A_{1} : S A = S B_{1} : SB$ . Проделав это для каждой пары соседних рёбер, получим цепочку равных отношений для всех рёбер.
3Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, она перпендикулярна и другой. Поэтому высота $SO$ пересекает сечение в точке $O_{1}$ под прямым углом.
4Плоскость $SO A$ содержит высоту и ребро $S A$ и снова пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым $O A$ и $O_{1} A_{1}$ .
5Треугольники $S O_{1} A_{1}$ и $SO A$ подобны (прямоугольные, острый угол при $S$ общий), поэтому $S O_{1} : SO = S A_{1} : S A$ . Это отношение уже равно отношениям для остальных рёбер.

Номер 267 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели