Номер 269 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC A_{1} B_{1} C_{1}

— правильная усечённая пирамида;

A B = 4

дм,

A_{1} B_{1} = 2

дм;

A A_{1} = 2

дм

Найти:

O O_{1}

M M_{1}

Правильная треугольная усечённая пирамида ABCA1B1C1, апофема MM1, высота OO1

Боковая грань

A B B_{1} A_{1}

— равнобедренная трапеция:

A B = 4

A_{1} B_{1} = 2

A A_{1} = 2

M

M_{1}

— середины

A B

A_{1} B_{1}

;

M M_{1}

— апофема,

A M - A_{1} M_{1} = 2 - 1 = 1

M M_{1} = A A_{1}^{2} - 1^{2} = 4 - 1 = 3

O

O_{1}

— центры оснований:

OM

O_{1} M_{1}

— радиусы вписанных окружностей.3

OM = \frac{4 3}{6} = \frac{2}{3}, O_{1} M_{1} = \frac{2 3}{6} = \frac{1}{3}

M_{1} K ⊥ OM

M K = OM - O_{1} M_{1} = \frac{1}{3}

O O_{1} = M_{1} K = M M_{1}^{2} - M K^{2} = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = \frac{2 6}{3}

Ответ:

\frac{2 6}{3}

дм;

3

дм.

Пояснение

Идея. Апофему находим в боковой грани — трапеции, высоту пирамиды — из прямоугольного треугольника, образованного апофемой и разностью радиусов вписанных окружностей оснований.

1Правильная усечённая пирамида получена из правильной, поэтому боковые грани — равные равнобедренные трапеции, а верхнее основание параллельно нижнему.
2Апофема — высота боковой грани. В равнобедренной трапеции высота, опущенная на большее основание, отсекает от него отрезок, равный полуразности оснований: $(4 - 2) : 2 = 1$ . Это катет, боковое ребро — гипотенуза.
3Центр правильного треугольника — центр вписанной окружности; расстояние от него до стороны равно $\frac{a 3}{6}$ . $M$ и $M_{1}$ — точки касания со сторонами $A B$ и $A_{1} B_{1}$ .
4 $OM$ и $O_{1} M_{1}$ лежат в плоскости $OM M_{1} O_{1}$ , перпендикулярной $A B$ , и параллельны друг другу. Высота $O O_{1}$ равна высоте $M_{1} K$ прямоугольного треугольника $M K M_{1}$ , гипотенуза которого — апофема.

Номер 269 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели