Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 19, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№36. Прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой a. Докажите, что b и c — скрещивающиеся прямые.
✎ Запись в тетрадь
Дано:b∥a; c∩a=A; c∩b=∅
Доказать:b и c скрещиваются
Допустим,
b и
c не скрещиваются.
1Но
c пересекает
a — противоречие.
4Значит,
b и
c скрещиваются.
4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. От противного. У двух прямых без общих точек есть только две возможности: параллельность или скрещивание. Если бы b и c были параллельны, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей (п. 4), c была бы параллельна a.
- 1Предположим противное: b и c не скрещиваются.
- 2Общих точек у них нет по условию, пересекаться они не могут. Если они и не скрещиваются, то остаётся параллельность.
- 3Теорема п. 4: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. У нас c∥b и b∥a.
- 4Параллельные прямые общих точек не имеют, а c пересекает a (считаем c=a, ведь иначе c не пересекала бы a в одной точке). Получили противоречие, значит, предположение неверно.
