Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 19, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№35. Через точку M, не лежащую на прямой a, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой a. Докажите, что по крайней мере одна из этих двух прямых и прямая a являются скрещивающимися прямыми.
✎ Запись в тетрадь
Дано:M∈/a; b∋M, c∋M; b∩a=∅, c∩a=∅
Доказать:b или c скрещивается с a
Пусть
b,
c — данные прямые,
M∈b,
M∈c,
M∈/a.
1Допустим, ни одна из них не скрещивается с
a.
2b,
c не пересекают
a и не скрещиваются с ней ⇒
b∥a,
c∥a.
3 Через
M∈/a две прямые, параллельные
a — противоречие (п. 4).
4Значит, хотя бы одна из
b,
c скрещивается с
a.
4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Рассуждаем от противного. Две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, либо параллельны, либо скрещиваются. Если бы скрещивающихся не оказалось, обе прямые через M были бы параллельны a, а такая прямая только одна.
- 1Прямые b и c различны, иначе это была бы одна прямая. Обе проходят через M и не имеют общих точек с a.
- 2Предположение для противоречия: ни b, ни c не скрещивается с a.
- 3Из трёх случаев для двух прямых (пересекаются, параллельны, скрещиваются) остаётся один: общих точек нет, значит, пересечения нет, и скрещивания по предположению нет. Остаётся параллельность.
- 4Теорема п. 4: через точку вне данной прямой проходит единственная прямая, параллельная данной. У нас таких две, b и c, и это невозможно. Предположение неверно.
