Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 84, §3 Правильные многогранники
№271. Перерисуйте развёртку правильного тетраэдра (рис. 95) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из неё тетраэдр.
✎ Запись в тетрадь
Дано:правильный тетраэдр; ребро a=6 см
Построить:развёртка и склеенная модель
Грани — 4 равносторонних треугольника. Берём ребро
a=6 см; граней
F=4, рёбер
E=6, вершин
V=4.
1Чертим треугольник со стороной
2a=12 см; средние линии делят его на 4 грани.
2В развёртке
F−1=3 общих рёбер, остальные
E−3=3 склеиваются ⇒ нужно 3 клапанов.
3Режем по сплошным линиям, сгибаем по штриховым, смазываем клапаны клеем, склеиваем.
4Проверка: у каждой вершины три угла по
60∘, сумма
180∘<360∘.
5Результат: модель склеена.
Пояснение
Идея. Развёртка — многогранник, разрезанный по части рёбер и расправленный на плоскости. Все грани правильного многогранника равны, поэтому чертим одну грань и достраиваем соседние вдоль общих сторон так, чтобы они не налезали друг на друга.
- 1Правильный тетраэдр составлен из четырёх равных равносторонних треугольников, в каждой вершине сходятся три из них (п. 36).
- 2Развёртка рис. 95 — равносторонний треугольник со стороной 2a и его средние линии: получаются четыре треугольника со стороной a. Средний будет основанием, три крайних загнутся к общей вершине. Вместе с клапанами развёртка занимает около 12×12,7 см, это помещается на листе A4.
- 3Грани развёртки связаны друг с другом общими сторонами, и таких связей на одну меньше, чем граней. Остальные рёбра модели в развёртке разорваны, их нужно соединить склейкой: на одной из двух разорванных сторон каждой пары рисуем клапан.
- 4Сплошная линия — разрез, штриховая — сгиб. Клей наносим только на клапаны.
- 5Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360∘ (п. 27). У тетраэдра 3⋅60∘=180∘, угол замкнётся без зазора.
