Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 84, §3 Правильные многогранники
№273. Перерисуйте развёртку правильного октаэдра (рис. 97) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё октаэдр.
✎ Запись в тетрадь
Дано:правильный октаэдр; ребро a=5 см
Построить:развёртка и склеенная модель
Грани — 8 равносторонних треугольников. Берём ребро
a=5 см; граней
F=8, рёбер
E=12, вершин
V=6.
1Циркулем с раствором
5 см строим цепочку из 8 равносторонних треугольников.
2В развёртке
F−1=7 общих рёбер, остальные
E−7=5 склеиваются ⇒ нужно 5 клапанов.
3Режем по сплошным линиям, сгибаем по штриховым, смазываем клапаны клеем, склеиваем.
4Проверка: у каждой вершины четыре угла по
60∘, сумма
240∘<360∘.
5Результат: модель склеена.
Пояснение
Идея. Развёртка — многогранник, разрезанный по части рёбер и расправленный на плоскости. Все грани правильного многогранника равны, поэтому чертим одну грань и достраиваем соседние вдоль общих сторон так, чтобы они не налезали друг на друга.
- 1Правильный октаэдр составлен из восьми равных равносторонних треугольников, в каждой вершине сходятся четыре (п. 36).
- 2Строим один треугольник со стороной a циркулем, а следующие пристраиваем к его сторонам тем же раствором. Здесь все восемь граней идут цепочкой: каждая следующая примыкает к предыдущей по общей стороне. Вместе с клапанами развёртка занимает около 9,7×19,2 см, это помещается на листе A4.
- 3Граней восемь, значит, в развёртке семь общих сторон из двенадцати рёбер. Оставшиеся пять рёбер разорваны и склеиваются парами: на одной из двух сторон каждой пары рисуем клапан.
- 4Сплошная линия — разрез, штриховая — сгиб. Клапаны подгибаем под соседнюю грань и приклеиваем.
- 5Сумма плоских углов при вершине октаэдра 4⋅60∘=240∘<360∘ (п. 27, п. 36).
