Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 84, §3 Правильные многогранники
№275. Перерисуйте развёртку правильного икосаэдра (рис. 99) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё икосаэдр.
✎ Запись в тетрадь
Дано:правильный икосаэдр; ребро a=4 см
Построить:развёртка и склеенная модель
Грани — 20 равносторонних треугольников. Берём ребро
a=4 см; граней
F=20, рёбер
E=30, вершин
V=12.
1Циркулем с раствором
4 см строим 20 треугольников тремя рядами: 5, 10 и 5.
2В развёртке
F−1=19 общих рёбер, остальные
E−19=11 склеиваются ⇒ нужно 11 клапанов.
3Режем по сплошным линиям, сгибаем по штриховым, смазываем клапаны клеем, склеиваем.
4Проверка: у каждой вершины пять углов по
60∘, сумма
300∘<360∘.
5Результат: модель склеена.
Пояснение
Идея. Развёртка — многогранник, разрезанный по части рёбер и расправленный на плоскости. Все грани правильного многогранника равны, поэтому чертим одну грань и достраиваем соседние вдоль общих сторон так, чтобы они не налезали друг на друга.
- 1Правильный икосаэдр составлен из двадцати равных равносторонних треугольников, в каждой вершине сходятся пять (п. 36).
- 2Развёртка состоит из трёх рядов треугольников: 5, 10 и 5. Соседние треугольники имеют общую сторону, все стороны откладываем одним раствором циркуля. Вместе с клапанами развёртка занимает около 22,9×10,4 см, это помещается на листе A4.
- 3Граней двадцать, значит, в развёртке девятнадцать общих сторон из тридцати рёбер. Остальные одиннадцать рёбер разорваны и склеиваются парами: на одной из двух сторон каждой пары рисуем клапан.
- 4Сплошная линия — разрез, штриховая — сгиб. Склеивать удобнее по очереди, начиная с вершины, где сходятся пять треугольников.
- 5Сумма плоских углов при вершине 5⋅60∘=300∘<360∘ (п. 27, п. 36).
