Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 84, §3 Правильные многогранники
№276. Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?
✎ Запись в тетрадь
Дано:а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок
Найти:число центров симметрии
а)
Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке
O и делятся ею пополам ⇒
O — центр.
1Второй центр
O1 дал бы центры
O2,O3,… на одной прямой с шагом
2OO1 — их бесконечно много.
1Центры лежат внутри фигуры (середины отрезков «точка — образ»), а фигура ограничена ⇒ центр один.
1б)
Центр симметрии призмы дал бы центр симметрии её проекции на плоскость основания — треугольника
ABC.
2У треугольника три вершины (нечётное число): одна перешла бы в себя и совпала бы с центром — нельзя.
2в)
Ребро — единственная общая прямая двух граней ⇒ переходит в себя ⇒ центр
O лежит на ребре.
3Тогда грань переходит в другую полуплоскость той же плоскости, не входящую в двугранный угол ⇒ центра нет.
3г)
Центр переводит концы
A,
B друг в друга ⇒
O — середина
AB. Один.
4Ответ: а) один; б) нет; в) нет; г) один.
Пояснение
Идея. Центр симметрии фигуры — точка, которая переводит каждую точку фигуры в точку той же фигуры (§3, п. 35). У параллелепипеда он есть, у призмы с треугольным основанием и у двугранного угла — нет.
- 1Центр симметрии — середина отрезка между любой точкой фигуры и её образом, поэтому он лежит внутри фигуры. Если бы центров было два, отражение одного относительно другого давало бы новый центр, и так далее: бесконечная цепочка точек уходила бы за пределы ограниченной фигуры.
- 2Проекция призмы на плоскость основания — основание. Центральная симметрия переходит в центральную симметрию проекции, а у треугольника центра нет: вершины должны переходить в вершины парами, а их три.
- 3Центральная симметрия переводит прямую в параллельную ей прямую, а если прямая — ребро двугранного угла, то она обязана перейти в ребро. Значит, центр лежит на ребре, и тогда грань-полуплоскость «переворачивается» относительно ребра и выходит за пределы двугранного угла.
- 4Для отрезка центр — единственная точка, в которой он делится пополам.
