Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 84, §3 Правильные многогранники
№277. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб?
✎ Запись в тетрадь
Дано:а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб
Найти:число осей симметрии
а)
Прямая
AB и любая прямая, перпендикулярная
AB и проходящая через её середину, — оси.
1Таких прямых бесконечно много.
1б)
Ось
l симметрии плоской фигуры лежит в её плоскости или перпендикулярна ей.
2Перпендикулярная ось — это центральная симметрия плоскости: у треугольника центра нет.
2Ось в плоскости — ось симметрии треугольника: три высоты ⇒ 3.
2в)
Оси куба: 3 — через центры противоположных граней, 6 — через середины противоположных рёбер.
3Диагональ куба осью не является: поворот на
180∘ вокруг неё не переводит куб в себя.
4Ответ: а) бесконечно много; б) 3; в) 9.
Пояснение
Идея. Ось симметрии — прямая, относительно которой симметричны точки фигуры (п. 35). Считаем оси по виду фигуры: для отрезка их бесконечно много, для плоской фигуры оси лежат в её плоскости, для куба — оси проходят через его центр.
- 1Прямая AB содержит отрезок, его точки симметричны сами себе. Любая прямая, перпендикулярная AB и проходящая через середину, переводит A в B. Таких прямых в пространстве бесконечно много — через середину проходят все перпендикуляры к AB.
- 2Если ось не лежит в плоскости треугольника и не перпендикулярна ей, образ плоскости — другая плоскость, и треугольник не перейдёт в себя. Ось, перпендикулярная плоскости, действует на плоскости как центральная симметрия (в точке пересечения), а у треугольника центра нет. Остаются три оси в плоскости треугольника — высоты (они же медианы и биссектрисы).
- 3Куб переходит в себя при повороте на 180∘ вокруг оси через центры двух противоположных граней (таких осей 3) и вокруг оси через середины двух противоположных рёбер (таких осей 6: у куба 12 рёбер, по две на ось).
- 4Проверка диагонали: вершина, соседняя с концом диагонали, перейдёт при повороте на 180∘ в точку, которая не является вершиной куба.
