Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 84, §3 Правильные многогранники
№278. Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырёхугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырёхугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?
✎ Запись в тетрадь
Дано:а) правильная четырёхугольная призма, не куб; б) правильная четырёхугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида
Найти:число плоскостей симметрии
а)
Плоскость симметрии переводит основание в себя или в другое основание.
1В себя: четыре вертикальные плоскости — над осями симметрии квадрата (2 диагонали, 2 средние линии).
1Основание в основание: горизонтальная плоскость на середине высоты — одна.
1Основание в боковую грань нельзя:
a2=ah дало бы
h=a, куб. Итого 5.
1б)
Вершина
S единственная ⇒ плоскость содержит
S и
SO и симметрична основанию.
2Осей симметрии квадрата 4 ⇒ 4 плоскости:
SAC,
SBD,
SMN,
SPQ.
2в)
Так же: осей у правильного треугольника 3 ⇒ 3 плоскости (вершина и высота основания).
3Если все рёбра равны (тетраэдр), вершины равноправны: плоскости через ребро и середину противоположного.
4Таких рёбер 6 ⇒ 6 плоскостей.
4Ответ: а) 5; б) 4; в) 3 или 6.
Пояснение
Идея. Плоскость симметрии многогранника (п. 35) переводит его вершины в вершины и грани в грани. Для призмы и пирамиды смотрим, какие грани могут перейти друг в друга.
- 1Основания призмы — единственные квадраты равной площади a2. Боковые грани — прямоугольники a×h, причём a=h. Поэтому плоскость симметрии либо оставляет каждое основание на месте, либо меняет их местами. В первом случае плоскость вертикальна, ей соответствуют оси симметрии квадрата; во втором — она горизонтальна и проходит на середине высоты.
- 2Вершина пирамиды — единственная, к которой сходятся 4 ребра, поэтому она остаётся на месте, как и высота SO. Плоскость симметрии пирамиды перпендикулярно пересекает основание по оси симметрии основания; их у квадрата 4 (две диагонали и две средние линии).
- 3У правильного треугольника 3 оси симметрии (высоты), значит, у правильной треугольной пирамиды с произвольным боковым ребром 3 плоскости.
- 4Правильный тетраэдр — частный случай такой пирамиды. У него любая вершина может играть роль S, поэтому появляются плоскости, которых не было: плоскость через ребро и середину противоположного ребра меняет местами концы противоположного ребра и оставляет на месте остальные вершины.
Проверка. Для куба по этой же схеме: 3 плоскости, параллельные граням, и 6 плоскостей через противоположные рёбра — всего 9.
