Номер 280 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— куб; ребро

a

Найти:

площадь сечения через диагонали двух граней

1) диагонали смежных граней

Диагонали

A B_{1}

A D_{1}

имеют общий конец

A

и определяют плоскость;

B_{1} D_{1}

— диагональ верхней грани.1

A B_{1} = A D_{1} = B_{1} D_{1} = a 2 \Rightarrow S = \frac{3}{4} (a 2)^{2} = \frac{a ^{2} 3}{2}

Куб, сечение через диагонали противоположных граней — прямоугольник AA1C1C

2) диагонали противоположных граней

A C ∥ A_{1} C_{1}

определяют плоскость

A A_{1} C_{1} C

;

A A_{1} ⊥ (A BC)

⇒

A A_{1} C_{1} C

— прямоугольник.3

S = A C \cdot A A_{1} = a 2 \cdot a = a^{2} 2

Ответ:

\frac{a ^{2} 3}{2}

(смежные грани);

a^{2} 2

(противоположные).

Пояснение

Идея. Две диагонали определяют плоскость, только если они пересекаются или параллельны. У граней куба это два случая: диагонали смежных граней с общим концом и параллельные диагонали противоположных граней.

1Диагонали смежных граней, выходящие из одной вершины, лежат в одной плоскости. Сечение — треугольник: стороны его — две диагонали и диагональ третьей грани.
2Все три стороны — диагонали квадратов со стороной $a$ , значит, равны $a 2$ (из задачи 279 — треугольник равносторонний). Площадь равностороннего треугольника со стороной $b$ : $\frac{b ^{2} 3}{4}$ .
3Диагонали противоположных граней, лежащие в одной плоскости, параллельны (например, $A C$ и $A_{1} C_{1}$ ). Рёбра $A A_{1}$ и $C C_{1}$ параллельны и равны ⇒ сечение — параллелограмм, а т. к. $A A_{1} ⊥ A C$ (ребро перпендикулярно грани), то прямоугольник.
4Стороны прямоугольника $A C = a 2$ и $A A_{1} = a$ . Если диагонали не лежат в одной плоскости (например, $A C$ и $B_{1} D_{1}$ ), сечения через них не существует — задача относится только к двум указанным случаям.

Номер 280 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели