Номер 281 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— куб;

D_{1} A

D_{1} C

D_{1} B_{1}

— диагонали граней

Доказать:

D_{1} A B_{1} C

— правильный тетраэдр;

S_{куба} : S_{тетр}

Куб ABCDA1B1C1D1 и вписанный в него тетраэдр D1ACB1

D_{1} A

D_{1} C

D_{1} B_{1}

— диагонали равных квадратов-граней со стороной

a

A C

A B_{1}

C B_{1}

— тоже диагонали граней

A BC D

A A_{1} B_{1} B

B B_{1} C_{1} C

D_{1} A = D_{1} C = D_{1} B_{1} = A C = A B_{1} = C B_{1} = a 2

Все 6 рёбер равны, грани — равные равносторонние треугольники ⇒

D_{1} A B_{1} C

— правильный тетраэдр.3

S_{куба} = 6 a^{2}, S_{тетр} = 4 \cdot \frac{( a 2 ) ^{2} 3}{4} = 2 a^{2} 3

\frac{S _{куба}}{S _{тетр}} = \frac{6 a ^{2}}{2 a ^{2} 3} = 3

Ответ:

3

Пояснение

Идея. Все шесть рёбер четырёхугольной фигуры лежат в гранях куба как их диагонали. Диагонали равных квадратов равны, значит, у $D_{1} A B_{1} C$ все рёбра одинаковы.

1Три диагонали выходят из вершины $D_{1}$ и лежат в трёх разных гранях куба. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a 2$ .
2Концы диагоналей $A$ , $C$ , $B_{1}$ попарно лежат в одной грани куба: $A$ и $C$ — в нижней, $A$ и $B_{1}$ — в передней, $C$ и $B_{1}$ — в правой. Отрезки между ними — диагонали этих граней.
3Тетраэдр, у которого все рёбра равны, — правильный: все грани — равные равносторонние треугольники.
4Площадь поверхности куба — шесть квадратов. У тетраэдра четыре равносторонних треугольника со стороной $a 2$ .
5Деление площадей, $a^{2}$ сокращается: отношение не зависит от $a$ .

Номер 281 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели