Номер 282 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

E A BC D F

— правильный октаэдр;

E A

EC

— рёбра, не лежащие в одной грани

Найти:

∠ A EC

Правильный октаэдр EABCDF, рёбра EA и EC не лежат в одной грани

E A

EC

— рёбра с общей вершиной

E

, не лежащие в одной грани. Все рёбра равны

a

A E = A F

BE = BF

CE = CF

D E = D F

⇒

A, B, C, D

лежат в плоскости, перпендикулярной

EF

через середину

O

O A^{2} = a^{2} - O E^{2}

одно для всех ⇒

A, B, C, D

на окружности с центром

O

A B = BC = C D = D A = a

⇒

A BC D

— вписанный ромб ⇒ квадрат.4

A C = a 2, A E^{2} + E C^{2} = 2 a^{2} = A C^{2} \Rightarrow ∠ A EC = 9 0^{\circ}

Ответ:

9 0^{\circ}

Пояснение

Идея. Рёбра $E A$ и $EC$ вместе с диагональю $A C$ образуют треугольник $A EC$ . Если показать, что $A BC D$ — квадрат, то $A C = a 2$ , и угол при $E$ окажется прямым по обратной теореме Пифагора.

1В октаэдре 6 вершин, из каждой выходит 4 ребра. Рёбра из $E$ — $E A$ , $EB$ , $EC$ , $E D$ ; соседние лежат в общей грани (угол $6 0^{\circ}$ ), а противоположные $E A$ и $EC$ (также $EB$ и $E D$ ) — нет.
2Точки, равноудалённые от концов отрезка $EF$ , лежат в плоскости, проходящей через его середину перпендикулярно ему. Каждая из четырёх вершин $A, B, C, D$ равноудалена от $E$ и $F$ : все рёбра октаэдра равны.
3 $EO$ перпендикулярна этой плоскости, поэтому $△ EO A$ прямоугольный и $O A^{2} = E A^{2} - E O^{2}$ . Правая часть одинакова для всех четырёх вершин.
4Четырёхугольник со всеми равными сторонами — ромб. Вписанный в окружность параллелограмм — прямоугольник (противоположные углы в сумме $18 0^{\circ}$ и равны). Ромб и прямоугольник одновременно — квадрат.
5Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a 2$ . В $△ A EC$ стороны $E A = EC = a$ , $A C = a 2$ и $a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$ : по обратной теореме Пифагора угол $E$ прямой.

Номер 282 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели