Номер 283 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. В обоих случаях сначала находим прямую $XY$ на грани $ABC$: она проходит через центр $O$ параллельно $BC$, и по теореме Фалеса отсекает на $AB$ и $AC$ по $\frac{2}{3}$ длины, считая от $A$. Затем определяем третью вершину сечения на ребре $AD$.

1. 1Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан, она делит медиану $AM$ в отношении $2:1$ от вершины. Плоскость сечения параллельна $(BDC)$, поэтому пересекает грань $ABC$ по прямой, параллельной $BC$ (линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны).
2. 2Из $XY\parallel BC$ и подобия $△AXY\sim △ABC$ коэффициент $\frac{2}{3}$, так что $XY=\frac{2a}{3}$. Аналогично плоскость сечения пересекает грани $ABD$ и $ACD$ по прямым, параллельным $BD$ и $CD$: сечение подобно $△BCD$ с коэффициентом $\frac{2}{3}$ (гомотетия с центром $A$).
3. 3Сечение — равносторонний треугольник со стороной $\frac{2a}{3}$.
4. 4Противоположные рёбра правильного тетраэдра перпендикулярны: $AM\perp BC$ и $DM\perp BC$ (медианы равносторонних треугольников — высоты), значит, $BC\perp (ADM)$ и $BC\perp AD$. Плоскость, перпендикулярная $AD$, параллельна $BC$ — поэтому сечение с гранью $ABC$ параллельно $BC$ и $XY$ строится так же, как в а).
5. 5Плоскость $XYP\perp AD$ ⇒ $XP\perp AD$, и $△AXP$ прямоугольный с углом $60^{\circ }$ (грань $ABD$ равносторонняя). Из него $AP=\frac{a}{3}$. Остальные вершины $B$, $C$, $D$ проектируются на $AD$ дальше $P$ (на $\frac{a}{2}$, $\frac{a}{2}$, $a$ от $A$), поэтому плоскость пересекает только рёбра, выходящие из $A$, и сечение — треугольник.
6. 6$XP=YP$, значит, $△XYP$ равнобедренный; высота к основанию $XY$ — по теореме Пифагора с половиной основания $\frac{a}{3}$.

Частая ошибка. Чертёж схематичный: прямая $AD$ показана без прямого угла, а плоскость $XYP$ нарисована в проекции.