Номер 285 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Центр равностороннего треугольника — точка пересечения медиан, она отстоит от середины стороны на треть медианы. Две грани тетраэдра имеют общее ребро, и из его середины видны оба центра на гранях под тем же углом, что и противоположные вершины.

1. 1Любые две грани тетраэдра имеют общее ребро. Для граней $DBC$ и $DAC$ это $DC$. В равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой, поэтому $MB\perp DC$ и $MA\perp DC$.
2. 2Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины: от вершины $B$ до $P$ две трети $MB$, а от $M$ до $P$ — одна треть.
3. 3Угол при $M$ у двух треугольников один и тот же, потому что точка $P$ лежит на луче $MB$, а $Q$ — на луче $MA$. Две стороны пропорциональны с коэффициентом $\frac{1}{3}$ — подобие по двум сторонам и углу между ними.
4. 4В подобных треугольниках стороны, лежащие против общего угла, относятся так же: $PQ=\frac{1}{3}AB$. $AB$ — ребро тетраэдра, оно равно $a$.
5. 5Всего 6 пар граней и 6 рёбер. Каждая пара граней определяется общим ребром, и для неё $PQ$ — треть противоположного ребра, то есть $\frac{a}{3}$. Поэтому все шесть отрезков равны.