Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 85, §3 Правильные многогранники
№284. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?
✎ Запись в тетрадь
Дано:DABC — правильный тетраэдр, ребро 2; отсечены тетраэдры с ребром 1 при каждой вершине
Найти:вид оставшейся фигуры
Ребро отсечённого тетраэдра — половина ребра исходного ⇒
K,
L,
N — середины
AB,
AC,
AD.
1Срез — равносторонний треугольник
KLN со стороной 1 (средние линии граней). Таких срезов 4.
2От каждой грани остаётся серединный треугольник со стороной 1. Таких 4.
3Итого 8 равных правильных треугольников; вершин — 6 середин рёбер, при каждой 4 грани.
4Выпуклый, 8 равных правильных граней, по 4 при вершине ⇒ правильный октаэдр.
5Ответ: правильный октаэдр (ребро 1).
Пояснение
Идея. Если от каждого угла правильного тетраэдра отрезать тетраэдр с ребром 1, режущие плоскости проходят через середины рёбер. Остаётся многогранник, у которого 8 граней, и все они — равносторонние треугольники со стороной 1.
- 1Ребро тетраэдра равно 2, а ребро отсекаемого — 1, то есть ровно половина. Значит, три вершины отсекаемого тетраэдра, кроме самой вершины A, лежат на рёбрах AB, AC, AD на расстоянии 1 от A — это середины рёбер.
- 2Отрезки между серединами двух рёбер грани — средние линии равностороннего треугольника со стороной 2, каждая равна 1. Поэтому все четыре среза — равносторонние треугольники со стороной 1.
- 3Каждая грань исходного тетраэдра теряет три угла, и остаётся треугольник, образованный её средними линиями. Все его стороны равны 1.
- 4Рёбра нового многогранника — средние линии граней. В каждой из шести вершин (середина ребра) сходятся два среза и две оставшиеся части граней — четыре грани.
- 5По п. 36 правильный многогранник — выпуклый, с равными правильными гранями и одинаковым числом рёбер в каждой вершине. 8 равносторонних треугольников с 4 при вершине — правильный октаэдр.
