Номер 286 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. В правильном тетраэдре высота падает в центр основания, поэтому её можно найти из прямоугольного треугольника $DOA$. Расстояние между центрами граней уже выведено в задаче 285: оно равно трети ребра.

1. 1Правильный тетраэдр — пирамида, у которой основание правильный треугольник, а боковые рёбра равны. Основание высоты равноудалено от $A$, $B$, $C$, то есть совпадает с центром описанной окружности $△ABC$. Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $m$ равен $\frac{m}{\sqrt{3}}$.
2. 2$DO\perp (ABC)$, значит $DO\perp AO$, а $DA=m$ — гипотенуза в $△DOA$.
3. 3Из равенства $h=\frac{m\sqrt{6}}{3}$ выражаем $m$: умножаем на $\frac{3}{\sqrt{6}}$ и сокращаем $3$ с $\sqrt{6}$ как $\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6$.
4. 4В задаче 285 доказано, что любой отрезок между центрами двух граней равен трети ребра: $PQ\parallel AB$ с коэффициентом $\frac{1}{3}$. Поэтому $n=\frac{m}{3}$.