Номер 287 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

E A BC D F

— правильный октаэдр, ребро

a

Найти:

расстояние между: а) противоположными вершинами; б) центрами смежных граней; в) противоположными гранями

а)

A BC D

— квадрат со стороной

a

(зад. 282),

O

— его центр;

EO ⊥ (A BC)

EO = E A^{2} - A O^{2} = a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} = \frac{a 2}{2}

EF = 2 EO = a 2

б)

Октаэдр: P и Q — центры граней EAB и EBC, K и L — середины AB и BC

K

L

— середины

A B

BC

;

P \in E K

Q \in E L

EP = \frac{2}{3} E K

EQ = \frac{2}{3} E L

PQ ∥ K L, PQ = \frac{2}{3} K L

K L = \frac{1}{2} A C = \frac{a 2}{2} \Rightarrow PQ = \frac{2}{3} \cdot \frac{a 2}{2} = \frac{a 2}{3}

в)

Сечение октаэдра плоскостью EKFK′: ромб, K′H — расстояние между гранями EAB и FCD

K

K^{'}

— середины

A B

C D

E K ∥ F K^{'}

A B ∥ C D

⇒

(E A B) ∥ (FC D)

E K = K F = F K^{'} = K^{'} E = \frac{a 3}{2}

⇒

E K F K^{'}

— ромб;

EF = a 2

K K^{'} = a

A B ⊥ E K

A B ⊥ K K^{'}

⇒

A B ⊥ (E K F)

K^{'} H ⊥ E K

⇒

K^{'} H ⊥ (E A B)

K^{'} H = \frac{S _{E K F K^{'}}}{E K} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a 2 \cdot a}{\frac{a 3}{2}} = \frac{a 6}{3}

Ответ: а)

a 2

; б)

\frac{2}{3} a

; в)

\frac{a 6}{3}

Пояснение

Идея. Октаэдр — это две одинаковые четырёхугольные пирамиды с общим квадратным основанием $A BC D$ . Все три расстояния сводятся к плоским фигурам: треугольнику $EO A$ , подобию треугольников $EPQ$ и $E K L$ и ромбу $E K F K^{'}$ .

1 $E$ равноудалена от $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , поэтому её проекция на плоскость основания — центр квадрата, то есть точка $O$ . $A O$ — половина диагонали квадрата, $\frac{a 2}{2}$ . По теореме Пифагора в $△ EO A$ получаем $EO$ .
2Вершина $F$ симметрична $E$ относительно плоскости $A BC$ , поэтому $FO = EO$ и $E$ , $O$ , $F$ лежат на одной прямой.
3Центр равностороннего треугольника — точка пересечения медиан, она делит каждую медиану от вершины как $2 : 1$ . Медианы $E K$ и $E L$ — это высоты граней, поэтому $P$ и $Q$ лежат на них.
4 $△ EPQ \sim △ E K L$ (общий угол $E$ , стороны пропорциональны), значит $PQ ∥ K L$ и коэффициент подобия равен $\frac{2}{3}$ . $K L$ — средняя линия в $△ A BC$ (диагональ квадрата равна $a 2$ ).
5Признак параллельности плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости ( $A B$ и $E K$ ) параллельны двум пересекающимся прямым другой ( $C D$ и $F K^{'}$ ). Параллельность $E K$ и $F K^{'}$ видна на ромбе.
6Четыре точки $E$ , $K$ , $F$ , $K^{'}$ лежат в одной плоскости: она проходит через ось $EF$ и середины $K$ , $K^{'}$ противоположных сторон квадрата. Стороны — высоты равносторонних граней, все по $\frac{a 3}{2}$ .
7Прямая $A B$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $E K F$ : $E K$ (высота грани) и $K K^{'}$ (параллельна $A D$ , а $A D ⊥ A B$ ). Значит $A B ⊥ K^{'} H$ , а $K^{'} H ⊥ E K$ по построению, и $K^{'} H ⊥ (E A B)$ . Точка $K^{'}$ лежит на грани $FC D$ , поэтому расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра $K^{'} H$ .
8Высоту ромба находим через площадь: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ и $S = E K \cdot K^{'} H$ . Центры противоположных граней лежат на этом же перпендикуляре, поэтому расстояние между ними тоже равно $\frac{a 6}{3}$ .

Частая ошибка. В пункте в) нельзя брать расстояние между вершинами $E$ и $F$ или между серединами рёбер: нужен именно перпендикуляр к плоскости грани.

Номер 287 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели