Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 19, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№37. Прямая m пересекает сторону AB треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и BC, если: а) прямая m лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с отрезком AC; б) прямая m не лежит в плоскости ABC?
✎ Запись в тетрадь
Дано:m∩AB=X (внутренняя точка); а) m⊂(ABC), m∩AC=∅; б) m⊂(ABC)
Найти:расположение m и BC
а)
m∩AB=X делит плоскость на две полуплоскости;
A,
B — по разные стороны от
m.
1 m не пересекает
AC ⇒
A,
C — по одну сторону от
m.
2 ⇒
B,
C — по разные стороны ⇒
m пересекает отрезок
BC.
3б)
BC⊂(ABC);
m пересекает
(ABC) в
X∈AB,
X∈/BC.
4 Признак (п. 7) ⇒
m и
BC скрещиваются.
4Ответ: а) пересекаются; б) скрещивающиеся.
Пояснение
Идея. Часть а) — планиметрия: прямая, пересекающая сторону треугольника и не пересекающая вторую, обязана пересечь третью. Часть б) — признак скрещивающихся прямых (п. 7).
- 1Прямая m делит плоскость на две полуплоскости (п. 8). Точка X лежит строго между A и B, поэтому отрезок AB пересекает m, а значит, A и B по разные стороны от m.
- 2Отрезок AC с m общих точек не имеет, поэтому A и C лежат по одну сторону от m.
- 3B и A лежат по разные стороны, C и A — по одну, значит, B и C — по разные, и отрезок BC пересекает m. Прямые в одной плоскости с общей точкой пересекаются.
- 4Признак скрещивающихся прямых: одна прямая (BC) лежит в плоскости ABC, другая (m) пересекает плоскость в точке X, не лежащей на BC. Точка X лежит на AB и не совпадает с B, а прямые AB и BC пересекаются только в B.
Частая ошибка. Если X=B, то m проходит через B и пересекает BC даже вне плоскости. В задаче X — внутренняя точка стороны AB.
