Номер 290 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна периметру основания на высоту. Стороны основания находим из треугольника $ACD$ по диагонали $l$ и углу $\phi$, а высоту — из $△AC{C}_1$, для чего сначала считаем диагональ $A{C}_1$ по углу $\theta$.

1. 1Основание — прямоугольник, поэтому $\angle D=90^{\circ }$ и $AD$, $DC$ — катеты, прилежащий и противолежащий углу $\phi$.
2. 2Ребро $D{D}_1$ перпендикулярно основанию, $AD\perp DC$. По теореме о трёх перпендикулярах $AD\perp D{C}_1$ — в треугольнике $AD{C}_1$ прямой угол при $D$. Угол $C_{1}AD$ равен $\theta$, поэтому $\cos \theta =\frac{AD}{A{C}_1}$.
3. 3Теперь в $△AC{C}_1$ известны гипотенуза $A{C}_1$ и катет $AC=l$. Вынесем $l$ за скобку: $\frac{l^2{\cos }^2\phi }{{\cos }^2\theta }-l^2=\frac{l^2({\cos }^2\phi -{\cos }^2\theta )}{{\cos }^2\theta }$.
4. 4Разность квадратов косинусов раскладываем формулой ${\cos }^2\phi -{\cos }^2\theta =\sin (\theta +\phi )\sin (\theta -\phi )$ (она следует из формул произведения синусов).
5. 5Периметр основания — $2(AD+DC)$. Сумму $\cos \phi +\sin \phi$ приводим к одному косинусу: $\sqrt{2}\cos (\phi -\frac{\pi }{4})$, как в ответе книги.

Частая ошибка. Условие $\theta >\phi$ необходимо: диагональ параллелепипеда наклонена сильнее диагонали основания. Если $\theta \le \phi$, подкоренное выражение отрицательно, и такого параллелепипеда нет.