Номер 289 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Площадь поверхности куба выражается через ребро: $6a^2$. Диагональ тоже выражается через ребро: $d^2=3a^2$. Остаётся сравнить две формулы.

1. 1Диагональ куба проводим в два приёма: сначала диагональ основания $AC$, потом гипотенузу $A{C}_1$ в треугольнике $AC{C}_1$. Угол $C$ в нём прямой, потому что ребро $C{C}_1$ перпендикулярно основанию и, значит, любой прямой в нём.
2. 2$AC$ — диагональ квадрата со стороной $a$, по теореме Пифагора $A{C}^2=2a^2$.
3. 3В прямоугольном $△AC{C}_1$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $A{C}^2+C{C}_1^2$, а $C{C}_1=a$. Получаем $d^2=3a^2$ (сумма квадратов трёх измерений).
4. 4Гранями куба служат шесть равных квадратов (п. 31), площадь каждого $a^2$. Число $6$ записываем как $2\cdot 3$, и $3a^2$ уже найдено как $d^2$.