Номер 291 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— прямоугольный параллелепипед;

A C_{1} = d

;

∠ C_{1} A C = φ

;

∠ C_{1} A D = θ

Найти:

S_{бок}

Прямоугольный параллелепипед: диагональ AC₁ = d, ∠C₁AC = φ, ∠C₁AD = θ

C C_{1} ⊥ (A BC)

⇒

A C

— проекция

A C_{1}

∠ C_{1} A C = φ

. В

△ A C C_{1}

h = C C_{1} = d sin φ, A C = d cos φ

A D ⊥ D C_{1}

(т. о трёх перпендикулярах); в

△ A D C_{1}

A D = d cos θ

△ A D C

(

∠ D = 9 0^{\circ}

):3

D C = A C^{2} - A D^{2} = d cos^{2} φ - cos^{2} θ = d sin (θ + φ) sin (θ - φ)

S_{бок} = 2 (A D + D C) h = 2 d^{2} sin φ (cos θ + sin (θ + φ) sin (θ - φ))

Ответ:

S_{бок} = 2 d^{2} sin φ (cos θ + sin (θ + φ) sin (θ - φ))

Пояснение

Идея. Диагональ $d$ наклонена к основанию под углом $φ$ , поэтому через неё сразу получаем высоту $h$ и диагональ основания. Угол $θ$ даёт одну сторону основания, вторая — из треугольника $A D C$ .

1Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией. Проекция $A C_{1}$ на основание — диагональ $A C$ , значит в прямоугольном $△ A C C_{1}$ угол при $A$ равен $φ$ : противолежащий катет $h = d sin φ$ , прилежащий $A C = d cos φ$ .
2Грань $D C C_{1} D_{1}$ — прямоугольник, значит $D C_{1} ⊥ A D$ (по теореме о трёх перпендикулярах: $A D ⊥ D C$ , а $D C$ — проекция $D C_{1}$ ). Поэтому в $△ A D C_{1}$ катет $A D$ прилежит к углу $θ$ .
3Вторая сторона основания находится по теореме Пифагора в прямоугольнике $A BC D$ . Разность квадратов косинусов раскладываем формулой $cos^{2} φ - cos^{2} θ = sin (θ + φ) sin (θ - φ)$ .
4Периметр основания $2 (A D + D C)$ умножаем на высоту $h = d sin φ$ и выносим $d \cdot d sin φ$ за скобку.

Номер 291 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели