Номер 292 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Расстояние между скрещивающимися прямыми проще искать как расстояние от одной из них до плоскости, которая содержит вторую и параллельна первой (п. 21). Такая плоскость здесь — сечение $A_1{B}_{1}CD$.

1. 1Диагонали призмы $B_{1}D$ и $A_{1}C$ лежат в диагональном сечении — прямоугольнике $A_1{B}_{1}CD$ (его противоположные стороны $A_1{B}_1$ и $DC$ параллельны и равны).
2. 2Прямая $AB$ параллельна $A_1{B}_1$, а $A_1{B}_1$ лежит в плоскости сечения. Значит, $AB$ параллельна плоскости, и любая её точка одинаково удалена от этой плоскости.
3. 3Перпендикуляр к плоскости сечения строим внутри грани $A{A}_1{D}_{1}D$ — это прямоугольник, в нём всё видно как на плоском чертеже. $AH$ перпендикулярна $A_{1}D$ по построению.
4. 4Признак перпендикулярности прямой и плоскости: $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, $A_{1}D$ и $A_1{B}_1$. Вторая перпендикулярность следует из $A_1{B}_1\perp A{A}_1$ и $A_1{B}_1\perp A_1{D}_1$.
5. 5$AH$ — высота прямоугольного треугольника $A{A}_{1}D$ к гипотенузе. Площадь треугольника можно записать двумя способами: $\frac{1}{2}A{A}_1\cdot AD$ и $\frac{1}{2}{A}_{1}D\cdot AH$.