Номер 293 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Условие перпендикулярности диагоналей связывает высоту призмы с ребром основания. После этого диагонали $A_{1}C$ и $B_{1}D$ лежат в одном прямоугольнике $A_1{B}_{1}CD$, где угол между ними виден в равностороннем треугольнике.

1. 1Диагонали $B_{1}D$ и $D_{1}B$ призмы — диагонали четырёхугольника $B{B}_1{D}_{1}D$ (диагональное сечение). Это прямоугольник: боковое ребро перпендикулярно основанию, значит и диагонали основания $BD$.
2. 2Диагонали прямоугольника равны, а если ещё и перпендикулярны, то это ромб, а прямоугольник-ромб — квадрат. Поэтому высота призмы равна диагонали основания $a\sqrt{2}$.
3. 3$A_1{B}_1\parallel DC$, поэтому $A_1,B_1,C,D$ лежат в одной плоскости. $A_1{B}_1\perp (A{A}_{1}D)$, значит $A_1{B}_1\perp A_{1}D$, и четырёхугольник — прямоугольник со сторонами $a$ и $a\sqrt{3}$.
4. 4Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. $A_{1}C=B_{1}D=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$ (по Пифагору в $△A_1{B}_{1}C$, $\angle B_1=90^{\circ }$), каждая половина равна $a$.
5. 5Три стороны $△O{A}_1{B}_1$ равны $a$, значит треугольник равносторонний и все углы по $60^{\circ }$. Угол между пересекающимися прямыми $A_{1}C$ и $B_{1}D$ — это $\angle A_{1}O{B}_1$ (либо смежный с ним, $120^{\circ }$, из них берём меньший).