Номер 294 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. В правильной призме четыре диагонали пересекаются в одной точке — центре. Две диагонали определяют плоскость, но таких пар два вида: либо диагонали лежат в диагональном сечении, либо в сечении, проходящем через противоположные стороны оснований. В каждом случае сечение — прямоугольник, и по его площади находим $h$.

1. 1Диагональ призмы соединяет вершину нижнего основания с несмежной вершиной верхнего. У четырёхугольной призмы таких диагоналей четыре, и все они проходят через центр симметрии. Любые две пересекаются и потому лежат в одной плоскости. Подходят пары $B{D}_1$, $B_{1}D$ (или $A{C}_1$, $A_{1}C$) в диагональном сечении и пары вида $A{C}_1$, $B{D}_1$.
2. 2Диагональное сечение — прямоугольник: боковое ребро перпендикулярно основанию. Одна сторона — диагональ основания квадрата $BD=a\sqrt{2}$, вторая — высота $h$.
3. 3$S_{\text{бок}}$ прямой призмы равна периметру основания на высоту (п. 30): $4a\cdot h$. Подставляем $h$ из предыдущей строки и сокращаем $a$.
4. 4Во втором случае диагонали $A{C}_1$ и $B{D}_1$ лежат в плоскости $AB{C}_1{D}_1$: $AB\parallel D_1{C}_1$, поэтому это параллелограмм, а $AB\perp B{C}_1$ ($AB\perp$ плоскости грани $BC{C}_1{B}_1$) — прямоугольник.
5. 5Сторона $B{C}_1$ — диагональ боковой грани, $B{C}_1=\sqrt{a^2+h^2}$. Возводим $S_0=a\sqrt{a^2+h^2}$ в квадрат: $S_0^2=a^4+a^2{h}^2$, откуда $h$.
6. 6Подставляем $h$ в формулу $4ah$: $4a\cdot \frac{\sqrt{S_0^2-a^4}}{a}$.

Частая ошибка. Нельзя считать, что сечение «через две диагонали» — всегда диагональное сечение: из-за этого теряется второй ответ.