Номер 295 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Главное в задаче — пункт а): из равенства углов выводим равенство $C_{1}B=C_{1}D$, и точка $C_1$ оказывается на серединном перпендикуляре к $BD$. Остальные пункты — цепочка следствий из перпендикулярности $BD$ и двух пересекающихся прямых $AC$, $C{C}_1$.

1. 1$CB=CD$ (стороны ромба), $C{C}_1$ — общая сторона, углы $\angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD$ по условию. Треугольники равны по первому признаку, поэтому $C_{1}B=C_{1}D$ — как соответственные стороны.
2. 2$△CBD$ и $△C_{1}BD$ — равнобедренные с общим основанием $BD$, их медианы $CO$ и $C_{1}O$ — высоты. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CO$ и $C_{1}O$ плоскости $CO{C}_1$, значит, перпендикулярна и всей плоскости, в частности $C{C}_1$ (признак перпендикулярности прямой и плоскости, п. 16).
3. 3Прямая $B{B}_1$ параллельна $C{C}_1$, а прямая, перпендикулярная $BD$, остаётся перпендикулярной при параллельном переносе: $B{B}_1\perp BD$. Четырёхугольник $B{B}_1{D}_{1}D$ — параллелограмм (противоположные грани параллелепипеда параллельны, рёбра $B{B}_1$ и $D{D}_1$ параллельны и равны), а с прямым углом он прямоугольник.
4. 4Плоскость $A{A}_1{C}_{1}C$ содержит $AC$ и $C{C}_1$ — две пересекающиеся прямые, перпендикулярные $BD$: $AC\perp BD$ — свойство диагоналей ромба, $C{C}_1\perp BD$ — доказано в а). Значит, $BD\perp (A{A}_1{C}_1)$.
5. 5Признак перпендикулярности плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой, то плоскости перпендикулярны. Плоскость $B{B}_1{D}_{1}D$ проходит через $BD$, а $BD\perp (A{A}_1{C}_1)$.