Номер 296 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Сечение — трапеция с известными основаниями: средняя линия и сторона. Высота трапеции лежит в плоскости $\alpha$ и наклонена к основанию под углом $\phi$, поэтому её находим из прямоугольного треугольника с катетом $h$.

1. 1Средняя линия $KL$ треугольника $ABC$ параллельна $AB$ и вдвое короче. Верхняя сторона $A_1{B}_1$ параллельна $AB$ и равна ей, значит, параллельна и $KL$. Плоскость $\alpha$ проходит через $KL$ и $A_1{B}_1$ — получается трапеция с основаниями $\frac{a}{2}$ и $a$.
2. 2Точки $E$ и $F$ лежат на медиане $CF$ треугольника $ABC$, перпендикулярной $AB$, а значит, и $KL$. $FG$ перпендикулярна основанию, $EF$ — проекция $EG$. По теореме о трёх перпендикулярах $EG\perp KL$.
3. 3$EF\perp KL$ и $EG\perp KL$, то есть $\angle FEG$ — линейный угол двугранного угла между $\alpha$ и основанием. $EF$ — половина медианы $CF=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
4. 4Из прямоугольного $△EFG$: $\mathrm{tg}\phi =\frac{FG}{EF}$ и $EG=\frac{FG}{\sin \phi }$. Сторону основания выражаем через $h$ и $\phi$.
5. 5Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту. $EG$ перпендикулярна обоим основаниям, поэтому это и есть высота. Подставляем $a$ и сокращаем: $\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.