Номер 297 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. В каждом пункте работает один приём: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости — значит, она перпендикулярна плоскости, а любая плоскость, проходящая через такую прямую, перпендикулярна первой. Роль перпендикуляров к основанию играет $A_{1}O$, ведь $A_1$ проектируется в центр.

1. 1Центр правильного треугольника лежит на каждой из высот, поэтому $O$ лежит на $BD$ и на $AE$. Высота $BD$ правильного треугольника перпендикулярна $AC$ (и является медианой). $A_{1}O$ перпендикулярна всей плоскости основания, значит, и прямой $AC$.
2. 2Прямые $A_{1}O$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и лежат в плоскости $A_{1}BD$. $AC$ перпендикулярна обеим, значит, $AC\perp (A_{1}BD)$ (признак, п. 16). Плоскость $A{A}_1{C}_{1}C$ проходит через $AC$ — по признаку перпендикулярности плоскостей (п. 22) она перпендикулярна $A_{1}BD$.
3. 3Аналогично: $AE$ — высота (и медиана) правильного треугольника, $AE\perp BC$. $O$ лежит на $AE$, а $A_{1}O\perp BC$, как перпендикуляр к плоскости основания.
4. 4$BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AE$ и $A_{1}O$ плоскости $A{A}_{1}O$ (она проходит через $A{A}_1$, $A_{1}O$ и $AO$). Плоскость $B{B}_{1}C$ содержит $BC$, значит, перпендикулярна $A{A}_{1}O$.
5. 5Из $BC\perp (A{A}_{1}O)$ следует, что $BC$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе $A{A}_1$. Ребро $B{B}_1$ параллельно $A{A}_1$, а прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Боковая грань призмы — параллелограмм, а с прямым углом — прямоугольник.