Номер 298 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— параллелепипед;

A BC D

— квадрат,

A B = a

;

A A_{1} = b

;

A_{1} A = A_{1} B = A_{1} C = A_{1} D

Найти:

S_{полн}

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁: A₁O ⊥ (ABC), O — центр квадрата, K — середина AB, A₁K — высота грани AA₁B₁B

A_{1} A = A_{1} B = A_{1} C = A_{1} D

⇒ проекция

A_{1}

на

(A BC)

— центр

O

квадрата

A BC D

K

— середина

A B

△ A_{1} A B

равнобедренный (

A_{1} A = A_{1} B = b

) ⇒

A_{1} K ⊥ A B

A_{1} K = b^{2} - \frac{a ^{2}}{4} = \frac{4 b ^{2} - a ^{2}}{2}

Аналогично для грани

A A_{1} D_{1} D

: высота та же. Противоположные грани равны ⇒ все 4 грани:3

S_{бок} = 4 \cdot a \cdot A_{1} K = 2 a 4 b^{2} - a^{2}

S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 a^{2} + 2 a 4 b^{2} - a^{2}

Ответ:

2 a^{2} + 2 a 4 b^{2} - a^{2}

Пояснение

Идея. Равноудалённость вершины $A_{1}$ от четырёх вершин квадрата означает, что она проектируется в центр квадрата. Тогда у боковых граней легко найти высоты, и все они оказываются одинаковыми.

1Если $A_{1}$ равноудалена от точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , то её проекция равноудалена от них же: это центр описанной окружности квадрата, то есть $O$ (точка пересечения диагоналей). Расстояние $A_{1} A = b$ — боковое ребро, поэтому все четыре расстояния равны $b$ .
2В равнобедренном $△ A_{1} A B$ медиана $A_{1} K$ — высота и высота грани $A A_{1} B_{1} B$ (параллелограмма с основанием $A B$ ). Катет $A K = \frac{a}{2}$ , по Пифагору находим $A_{1} K$ .
3Точка $A_{1}$ равноудалена и от $A$ , $D$ , значит, высота грани $A A_{1} D_{1} D$ к $A D$ равна той же величине. Противоположные грани параллелепипеда равны, поэтому все четыре боковые грани имеют площадь $a \cdot A_{1} K$ .
4В основаниях лежат два равных квадрата площадью $a^{2}$ каждый (п. 29). Складываем с боковой поверхностью.

Номер 298 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели