Номер 299 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — полупериметр основания на апофему (п. 33), а площадь правильного треугольника — полупериметр на радиус вписанной окружности. Отношение площадей сводится к отношению апофемы и радиуса.

1. 1Высота правильной пирамиды падает в центр основания, поэтому $O$ — центр вписанной окружности, а $OM$ — её радиус: $M$ — точка касания со стороной $AB$. Апофема $SM$ — высота боковой грани.
2. 2Обе площади содержат множитель $\frac{1}{2}P$ с одним и тем же периметром. Площадь основания записана через радиус вписанной окружности ($S=pr$, где $p$ — полупериметр).
3. 3Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен трети его высоты (медианы делятся $2:1$). Высота треугольника со стороной $m$ равна $\frac{m\sqrt{3}}{2}$.
4. 4$SO\perp (ABC)$, поэтому $SO\perp OM$. Из прямоугольного треугольника $SOM$ находим $h$ по теореме Пифагора.