Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№39. Докажите, что если AB и CD — скрещивающиеся прямые, то AD и BC также скрещивающиеся прямые.
✎ Запись в тетрадь
Дано:AB и CD — скрещивающиеся прямые
Доказать:AD и BC скрещиваются
AB и
CD скрещиваются ⇒
A,B,C,D не лежат в одной плоскости.
1 Допустим,
AD и
BC лежат в одной плоскости
β.
2Тогда
A,D,B,C∈β ⇒
AB и
CD лежат в
β.
3Это противоречит тому, что
AB и
CD скрещиваются.
3Значит,
AD и
BC — скрещивающиеся.
3Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Рассуждаем от противного. Если бы AD и BC лежали в одной плоскости, то в ней оказались бы все четыре точки, а значит, и прямые AB и CD.
- 1Скрещивающиеся прямые не лежат ни в какой плоскости. Если бы все четыре точки лежали в одной плоскости, то в ней лежали бы и AB, и CD. Поэтому A, B, C, D в одной плоскости не лежат.
- 2Предположим противное: AD и BC не скрещиваются. Тогда они пересекаются или параллельны, а такие прямые лежат в одной плоскости. Назовём её β.
- 3В плоскости β лежат четыре точки. Прямая через две точки плоскости лежит в этой плоскости (аксиома A2), значит, AB и CD лежат в β. Но скрещивающиеся прямые в одной плоскости лежать не могут.
