Номер 300 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

D A BC

— правильная пирамида;

A B = a

D A = b

;

E

F

P

— середины

BC

A B

A D

Найти:

вид сечения

(EFP)

и его площадь

Правильная пирамида DABC, сечение FEQP: E, F, P, Q — середины BC, AB, AD, DC

EF

— средняя линия

△ A BC

EF ∥ A C

EF = \frac{a}{2}

Q

— середина

D C

PQ

— средняя линия

△ A D C

PQ ∥ A C

PQ = \frac{a}{2}

EF ∥ PQ

⇒

E, F, P, Q

в одной плоскости — сечение

FEQP

— параллелограмм.2

FP

— средняя линия

△ A B D

FP ∥ B D

FP = \frac{b}{2}

A C ⊥ B D

(пр. 1) ⇒

EF ⊥ FP

⇒

FEQP

— прямоугольник.4

S = EF \cdot FP = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}

Ответ: прямоугольник,

S = \frac{ab}{4}

Пояснение

Идея. Все стороны сечения — средние линии граней, поэтому они параллельны рёбрам $A C$ и $B D$ и вдвое короче. У правильной пирамиды противоположные рёбра $A C$ и $B D$ перпендикулярны, значит, параллелограмм — прямоугольник.

1Средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине. $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $A B$ , значит, $EF ∥ A C$ .
2Плоскость $EFP$ параллельна $A C$ (содержит $EF ∥ A C$ ) и пересекает грань $A C D$ по прямой, проходящей через $P$ и параллельной $A C$ . Эта прямая проходит через середину $D C$ , то есть через $Q$ — $PQ$ тоже средняя линия, на этот раз в $△ A C D$ . Две противоположные стороны $FE$ и $PQ$ параллельны и равны.
3 $FP$ — средняя линия $△ A B D$ , параллельна $B D$ и равна $\frac{b}{2}$ .
4Пусть $K$ — середина $A C$ . $B K ⊥ A C$ и $DK ⊥ A C$ (медианы равнобедренных треугольников $A BC$ и $A D C$ ). Значит, $A C ⊥ (B KD)$ и $A C ⊥ B D$ . Параллельные им стороны $EF$ и $FP$ тоже перпендикулярны.
5Площадь прямоугольника — произведение смежных сторон.

Номер 300 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели