Номер 301 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Угол между гранями при боковом ребре измеряется углом между перпендикулярами к ребру, проведёнными из $B$ и $C$ в двух гранях. Из этого угла и расстояния $16$ находим сторону основания, затем боковое ребро и апофему.

1. 1Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Высоты $BH$ и $CH$ равных треугольников $DAB$ и $DAC$ к общей стороне $DA$ равны и попадают в одну точку: $AH=AB\cos \angle DAB=AC\cos \angle DAC$. Углом между гранями служит $\angle BHC$, потому что обе прямые $HB$ и $HC$ перпендикулярны ребру $DA$ (п. 23).
2. 2В $△BHC$ известны две стороны и угол между ними — по теореме косинусов находим основание $BC$. $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, поэтому $B{C}^2=256+256+256$.
3. 3$BH\perp DA$, значит, $△ABH$ прямоугольный с гипотенузой $AB=a$. Из него находим косинус угла при основании боковой грани.
4. 4Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием $a$. Если провести высоту из $D$ к $AB$, она делит основание пополам, и $\cos \angle A=\frac{a/2}{b}$. Отсюда боковое ребро.
5. 5Апофема — высота боковой грани $DBC$ к основанию $BC$, она же медиана. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $DMB$: $D{M}^2=D{B}^2-B{M}^2$.