Номер 303 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Две боковые грани, перпендикулярные основанию, пересекаются по ребру $SA$, а оно перпендикулярно основанию. Это даёт и высоту, и угол ромба. Угол $30^{\circ }$ между наклонными гранями и основанием измеряется в треугольнике $SAK$, откуда находим сторону ромба.

1. 1Если две плоскости перпендикулярны третьей, то и их линия пересечения перпендикулярна ей (зад. 183). Здесь это ребро $SA$, оно и есть высота пирамиды, равная $12$.
2. 2$SA$ перпендикулярна и $AB$, и $AD$, поэтому угол между гранями $SAB$ и $SAD$ равен углу $BAD$ (линейный угол двугранного угла, п. 23). Соседние углы ромба в сумме дают $180^{\circ }$, значит, $\angle B=60^{\circ }$.
3. 3Угол между гранью $SBC$ и основанием — угол между $SK$ и её проекцией $AK$, где $AK\perp BC$ ($SK\perp BC$ по теореме о трёх перпендикулярах). Точка $K$ лежит на стороне $BC$, потому что угол $B$ острый. Грань $SCD$ даёт такой же результат: высоты ромба равны.
4. 4$△SAK$ прямоугольный, $\angle K=30^{\circ }$: напротив угла $30^{\circ }$ лежит катет, равный половине гипотенузы, $SK=2SA$.
5. 5В прямоугольном $△ABK$ угол $B=60^{\circ }$, поэтому $AK=AB\sin 60^{\circ }$ — отсюда сторона ромба.
6. 6Площадь ромба — основание на высоту, $AK$ — это высота ромба. Грани $SAB$ и $SAD$ — прямоугольные треугольники с катетами $24$ и $12$. Грани $SBC$ и $SCD$ имеют высоту $SK=24$ (апофемы по $BC$ и $CD$).
7. 7$288\sqrt{3}+288+576=288\sqrt{3}+864=288(3+\sqrt{3})$.