Номер 304 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

S A BC D

— правильная пирамида;

∠ A SB = 6 0^{\circ}

;

α

— двугранный угол при

A B

β

— при

S A

Доказать:

β = 2 α

Правильная пирамида SABCD, SM — апофема, ∠SMO = α — угол между боковой гранью и основанием

S A = SB

∠ A SB = 6 0^{\circ}

⇒

△ S A B

равносторонний ⇒

S A = A B = a

Все боковые грани — равносторонние треугольники со стороной

a

M

— середина

A B

SM ⊥ A B

OM ⊥ A B

⇒

∠ SMO = α

SM = \frac{a 3}{2}, OM = \frac{a}{2} \Rightarrow cos α = \frac{OM}{SM} = \frac{1}{3}

Та же пирамида: BH ⊥ SA, DH ⊥ SA, ∠BHD = β — двугранный угол при ребре SA

B H ⊥ S A

DH ⊥ S A

(в одной точке

H

△ S A B = △ S A D

) ⇒

∠ B HD = β

B H = DH = \frac{a 3}{2}, B D = a 2

cos β = \frac{B H ^{2} + D H ^{2} - B D ^{2}}{2 B H \cdot DH} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = - \frac{1}{3}

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3} = cos β

0 < α < 9 0^{\circ}

⇒

0 < 2 α < 18 0^{\circ}

0 < β < 18 0^{\circ}

⇒

β = 2 α

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Оба двугранных угла выражаем через ребро основания $a$ и сравниваем косинусы: $cos β$ равен $cos 2 α$ . Так как угол $6 0^{\circ}$ при вершине делает боковые грани равносторонними, все нужные отрезки считаются просто.

1Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. У $△ S A B$ угол при вершине $6 0^{\circ}$ , поэтому углы при основании тоже $6 0^{\circ}$ : треугольник равносторонний, а значит, боковое ребро равно стороне основания.
2Двугранный угол при ребре $A B$ измеряем линейным углом (п. 23): $SM ⊥ A B$ как высота равностороннего треугольника, $OM ⊥ A B$ , потому что $O$ — центр квадрата и $M$ — середина стороны. Угол между перпендикулярами равен $α$ .
3В прямоугольном $△ SOM$ косинус угла $α$ — отношение прилежащего катета $OM$ к гипотенузе $SM$ .
4Высоты $B H$ и $DH$ равностороннего треугольника $S A B$ и равного ему $S A D$ равны $\frac{a 3}{2}$ и падают в одну точку $H$ ребра $S A$ (середину $S A$ ). Диагональ основания $B D = a 2$ . Теорема косинусов в $△ B HD$ даёт $cos β$ .
5Формула косинуса двойного угла $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ . Косинус принимает каждое значение только один раз на промежутке от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , поэтому равенство косинусов даёт равенство углов.

Номер 304 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели