Номер 305 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

S A BC D

— правильная пирамида;

SO = h

;

∠ A SB = α

Найти:

S_{бок}

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD: SO = h, ∠ASB = α, SM — апофема

M

— середина

A B

;

SM ⊥ A B

— апофема и биссектриса:

∠ A SM = \frac{α}{2}

A M = SM \cdot tg \frac{α}{2} \Rightarrow A B = 2 SM tg \frac{α}{2}, OM = SM tg \frac{α}{2}

△ SOM

(

∠ O = 9 0^{\circ}

S M^{2} = h^{2} + O M^{2}

S M^{2} (1 - tg^{2} \frac{α}{2}) = h^{2} \Rightarrow S M^{2} = \frac{h ^{2}}{1 - tg ^{2} \frac{α}{2}}

S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} A B \cdot SM = 4 S M^{2} tg \frac{α}{2} = \frac{4 h ^{2} tg \frac{α}{2}}{1 - tg ^{2} \frac{α}{2}}

= 2 h^{2} tg α

Ответ:

2 h^{2} tg α

Пояснение

Идея. Площадь боковой поверхности — четыре равных треугольника, каждый с основанием $A B$ и высотой $SM$ . Обе величины выражаем через $SM$ и половину угла при вершине, а $SM$ находим из прямоугольного треугольника $SOM$ с катетом $h$ .

1Боковая грань — равнобедренный треугольник, его медиана $SM$ является высотой и биссектрисой. Поэтому $△ A SM$ прямоугольный с углом $\frac{α}{2}$ при вершине $S$ .
2В нём катет $A M$ , противолежащий углу, равен $SM tg \frac{α}{2}$ . Половина стороны основания $A M$ равна $OM$ : $O$ — центр квадрата, $M$ — середина стороны.
3 $SO ⊥ (A BC)$ , поэтому $△ SOM$ прямоугольный. Подставляем $OM$ и собираем $S M^{2}$ в левой части.
4Площадь грани $\frac{1}{2} A B \cdot SM = S M^{2} tg \frac{α}{2}$ , ещё умножаем на $4$ . Затем применяем формулу тангенса двойного угла $tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - tg ^{2} \frac{α}{2}}$ .

Номер 305 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели