Номер 306 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. У высоты $SO$ проекция на плоскость боковой грани лежит на апофеме $SM$, поэтому $\phi$ — угол $\angle OSM$ прямоугольного треугольника $SOM$, и всё выражается через $h$ и $\phi$.

1. 1Апофема $SM\perp AB$ (высота равнобедренного треугольника $SAB$), $OM\perp AB$ ($O$ — центр квадрата, $M$ — середина стороны). Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $SOM$, значит, перпендикулярна всей этой плоскости.
2. 2Проводим в плоскости $SOM$ перпендикуляр $OH$ к $SM$. Он перпендикулярен и $AB$ (она перпендикулярна любой прямой плоскости $SOM$), а значит, плоскости $SAB$. Тогда проекция $SO$ на эту плоскость — прямая $SH$, лежащая на $SM$, и угол между $SO$ и плоскостью равен $\angle OSM$.
3. 3В $△SOM$ ($\angle O=90^{\circ }$) катет $OM$ противолежит углу $\phi$, катет $SO=h$ прилежит: $OM=h\mathrm{tg}\phi$, $SM=\frac{h}{\cos \phi }$. $OM$ — половина стороны квадрата, поэтому $AB=2OM$.
4. 4Боковая грань — треугольник с основанием $AB$ и высотой $SM$, граней четыре. Чтобы вынести общий множитель, заменяем $\frac{1}{\cos \phi }=\frac{\mathrm{tg}\phi }{\sin \phi }$ и складываем с площадью основания.

Частая ошибка. Двугранный угол при основании — это $\angle SMO$, он равен $90^{\circ }-\phi$, а не $\phi$. Данный в условии угол $\phi$ лежит между высотой и гранью.