Номер 307 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $MA$, поэтому пересекает любую плоскость, содержащую $MA$, по прямой, параллельной $MA$. Берём плоскость $MAC$ — она проходит через центр основания $O$, лежащий на $\alpha$, и даёт точку $K$ на ребре $MC$.

1. 1Если прямая параллельна плоскости, то плоскость, проходящая через эту прямую и пересекающая данную плоскость, пересекает её по прямой, параллельной данной (п. 6, утв. 1°). Здесь это плоскость $MAC$, общая точка с $\alpha$ — $O$, поэтому линия пересечения проходит через $O$ параллельно $MA$ и выходит на ребро $MC$ в точке $K$.
2. 2В $△MAC$ прямая $OK$ проходит через середину стороны $AC$ параллельно $MA$, поэтому делит $MC$ пополам и является средней линией. Сечение — треугольник $BKD$, потому что $\alpha$ содержит $B$, $D$ и $K$.
3. 3Диагонали квадрата перпендикулярны: $BD\perp AC$. Высота $MO$ перпендикулярна плоскости основания, в частности $BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $MAC$, значит, и всей плоскости, и прямой $OK$ в ней. Тогда $OK$ — высота $△BKD$.
4. 4Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Площадь треугольника — половина произведения основания $BD$ на высоту $OK$.
5. 5Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра. Отрезок $MC$ пересекает $\alpha$ в своей середине $K$, а прямоугольные треугольники с гипотенузами $MK$ и $CK$ равны по гипотенузе и острому углу (вертикальные углы при $K$).