Номер 309 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость сечения содержит $AB$, а $AB\parallel CD$, поэтому она пересекает грань $SCD$ по прямой, параллельной $CD$: сечение — трапеция с основаниями $AB$ и $EF$. Высоту трапеции находим в плоскости $SMN$, перпендикулярной $AB$.

1. 1Прямая $AB$ параллельна $CD$, а значит, параллельна плоскости $SCD$ (п. 6). Плоскость сечения проходит через $AB$ и пересекает $SCD$ по прямой, параллельной $AB$ (п. 6, утв. 1°). Эта прямая $EF$ пересекает рёбра $SD$ и $SC$.
2. 2$M$ и $N$ — середины $AB$ и $CD$, $MN\parallel AD$, поэтому $MN\perp AB$. Высота $SO$ тоже перпендикулярна $AB$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $SMN$, поэтому перпендикулярна всей плоскости, и $MQ$ — высота трапеции (расстояние между $AB$ и $EF$).
3. 3Точка $Q$ — пересечение прямой $MP$ с $SN$ (точка $EF$ с плоскостью $SMN$). Через $O$ проводим $OT\parallel MQ$: в $△MQN$ это средняя линия по теореме Фалеса, а в $△SOT$ прямая $PQ$ идёт через середину $SO$ параллельно $OT$, поэтому $SQ=QT=TN$.
4. 4$△SEF$ подобен $△SDC$ с коэффициентом $\frac{SQ}{SN}=\frac{1}{3}$: $EF\parallel DC$ и $SQ$, $SN$ — соответствующие медианы.
5. 5$OM$ — половина $AD$, $OP$ — половина высоты. $△MOP$ прямоугольный. Из $OT\parallel MQ$ и средней линии $OT=\frac{1}{2}MQ$; в $△SOT$ отрезок $PQ$ — средняя линия: $PQ=\frac{1}{2}OT$. Тогда $MP=MQ-PQ=\frac{3}{4}MQ$.
6. 6Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту.