Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№40. На скрещивающихся прямых a и b отмечены соответственно точки M и N. Через прямую a и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку M — плоскость β. а) Лежит ли прямая b в плоскости α? б) Пересекаются ли плоскости α и β? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a, b скрещиваются; M∈a, N∈b; α⊃a,N; β⊃b,M
Найти:а) b⊂α? б) α∩β?
а)
Если
b⊂α, то
a и
b лежат в
α — противоречие.
1б)
M,
N — общие точки
α и
β;
α=β (иначе
a,
b в одной плоскости).
3 Ответ: а) нет; б) да, прямая MN.
Пояснение
Идея. Определение скрещивающихся прямых: они не лежат в одной плоскости. Это сразу отвечает на пункт а). В пункте б) находим две общие точки плоскостей — две точки определяют прямую.
- 1Плоскость α уже содержит a. Если бы она содержала и b, то обе прямые лежали бы в одной плоскости, а скрещивающиеся прямые так не расположены.
- 2Точка M лежит на a, поэтому принадлежит плоскости α, проведённой через a, и принадлежит β по построению. Точка N лежит на b и так же принадлежит обеим плоскостям.
- 3Плоскости различны: если бы они совпали, то в ней лежали бы и a, и b. Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой (аксиома A3); через две точки M и N проходит единственная прямая, и она лежит в обеих плоскостях.
