Номер 311 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

D A BC

— пирамида;

A C = 13

A B = 15

CB = 14

см;

D A ⊥ (A BC)

;

D A = 9

см

Найти:

S_{полн}

;

A H ⊥ (D BC)

Пирамида DABC, DA ⊥ (ABC), AM ⊥ BC, DM — высота грани DBC, AH ⊥ DM

а)

S_{A BC} = 21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7 = 84, A M = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12

BM = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9, D M = 9^{2} + 1 2^{2} = 15

D A ⊥ (A BC)

A M ⊥ BC

⇒

D M ⊥ BC

(т. о трёх перпендикулярах).2

S_{D BC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 105, S_{D A B} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 9 = 67, 5, S_{D A C} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 9 = 58, 5

S = 84 + 105 + 67, 5 + 58, 5 = 315

б)

BC ⊥ A M

BC ⊥ D A

⇒

BC ⊥ (D A M)

△ D A M

A H ⊥ D M

A H \subset (D A M)

⇒

A H ⊥ BC

A H ⊥ D M

A H ⊥ BC

⇒

A H ⊥ (D BC)

H \in D M

— на высоте грани.4

A H = \frac{D A \cdot A M}{D M} = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7, 2

Ответ: а)

315

см

^{2}

; б)

7, 2

см.

Пояснение

Идея. Все четыре грани считаем через высоты: в основании по формуле Герона, боковые — через $D A$ и $D M$ . В пункте б) перпендикуляр к плоскости $D BC$ строится в плоскости $D A M$ , которая перпендикулярна $BC$ .

1Стороны основания известны, поэтому по формуле Герона ( $p = 21$ ) находим площадь. Высота $A M$ к стороне $BC$ получается из $S = \frac{1}{2} BC \cdot A M$ .
2Из прямоугольного $△ A BM$ находим $BM = 9$ ; точка $M$ лежит на стороне $BC$ , так как $9 < 14$ . $D A ⊥ (A BC)$ , а значит, $△ D A M$ прямоугольный. По теореме о трёх перпендикулярах $D M$ — высота грани $D BC$ .
3Грани $D A B$ и $D A C$ — прямоугольные треугольники с катетами $D A$ и $A B$ (или $A C$ ); у $D BC$ высота $D M$ .
4Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $D A M$ ( $A M$ и $D A$ ), поэтому перпендикулярна всей этой плоскости и любой прямой в ней, в частности $A H$ . Прямая $A H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $D BC$ — $D M$ и $BC$ , значит, перпендикулярна этой плоскости; её основание $H$ — на $D M$ .
5Площадь прямоугольного $△ D A M$ вычисляем двумя способами: $\frac{1}{2} D A \cdot A M = \frac{1}{2} D M \cdot A H$ .

Номер 311 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели